TUGAS MANDIRI VI - MATEMATIKA DISKRIT KAMPUS MILENIAL ITBI

 NAMA         : BUNGA LESTARI

JURUSAN     : SISTEM INFORMASI S1

KELAS          : EKSEKUTIF

1. Jelaskan pengertian alogaritma !

Jawaban : 

Secara umum, pengertian algoritma adalah suatu urutan dari beberapa langkah logis dan sistematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tertentu.

Pengertian Algoritma Menurut Para Ahli

Agar lebih memahami apa itu algoritma, maka kita dapat merujuk pada pendapat para ahli berikut ini:

1. Abu Ja’far Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi

Menurut Abu Ja’far Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi  (ahli matematika dari Uzbekistan), pengertian algoritma adalah suatu metode khusus yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.

2. Donald Ervin Knuth

Menurut Donald Ervin Knuth, definisi algoritma adalah sekumpulan aturan-aturan berhingga yang memberikan sederetan operasi-operasi untuk menyelesaikan suatu masalah tertentu.

3. S. E. Goodman dan S.T. Hedetniemi

Menurut Goodman dan Hedetniemi, pengertian algoritma adalah urutan terbatas dari operasi-operasi yang terdefinisi dengan baik, dimana masing-masing membutuhkan memori dan waktu yang terbatas untuk menyelesaikan suatu masalah.

4. Seymour Lipschutz dan Marc Lipson

Menurut Seymour Lipschutz dan Marc Lipson (praktisi matematika dan komputer), pengertian algoritma adalah suatu daftar langkah demi langkah yang terhingga dari intruksi-intruksi yang terdefinisikan dengan jelas yang digunakan untuk memecahkan permasalahan tertentu.

5. Marvin Minsky

Menurut Marvin Minsky (pakar Artificial Intelligence), pengertian algoritma adalah seperangkat aturan yang memberitahukan kepada kita dari waktu ke waktu, tepatnya bagaimana untuk bertindak.

6. Andrey Andreyevich Markov

Menurut Andrey Andreyevich Markov (ahli matematika dari Rusia), pengertian algoritma adalah hal umum untuk dipahami sebagai suatu keputusan yang tepat untuk mendefinisikan proses komputasi yang mengarahkan dari data awal hingga hasil yang diinginkan.

 

2. Jelaskan hubungan antara alogaritma dan bahasa pemograman komputer !

Jawaban : 

ALGORITMA merupakan urutan langkah menyelesaikan masalah, yang selanjutnya diubah dalam bentuk bahasa PROGRAM untuk dieksesusi oleh KOMPUTER. Alogaritma diumpamakan sebagai nyawa dari program tersebut sedangkan program adalah bahasa dari alogaritma sedangkan komputer yaitu eksekutornya. 

 

3. Apakah perbedaan antara alogaritma dan logika ?

Jawaban :

Perbedaan logika dan algoritma adalah jika logika dalam konteks komputer lebih mengarah pada bagaimana pola berpikir yang rasional, tepat dan logis dalam memecahkan suatu masalah, sedangkan algoritma cenderung pada prosedur menyelesaikan suatu masalah yang runtut dan logis dan umumnya digambarkan seperti pola pada flowchart dan pseudocode.

Pembahasan

Logika dalam komputer merupakan awal untuk mempelajari lebih dalam bahasa pemrograman dan sektor lain yang membutuhkan logika salah satunya sistem digital yang memerlukan pemahaman tentang gerbang logika.  

Macam – macam logika :

• Logika Aritmarik, logika ini biasa muncul dalam soal – soal psikotes matematika

• Logika Boolean, logika ini berupa nilai true / false dalam operasi and, or, xor, not

• Logika Perbadingan, logika ini juga bernilai true / false dengan operasi <,>,<=,>=, =, <>

Algoritma cenderung ke arah prosedur yang logis dan runtut didalamnya. Beberapa macam algoritma yang cukup dikenal dalam computer adalah algoritma pseudocode dan flowchart

Algoritma pseudocode mirip dengan penulisan dalam pemrograman akan tetapi pseudocode lebih mudah dimengerti karena bahasanya lebih sederhana. Umumnya strukturnya adalah

• Judul Algoritma

• Deklarasi variable dan/atau konstanta

• Perintah

Sedangkan algoritma flowchart menggunakan diagram yang dapat bercabang untuk menjelaskan langkah – langkah penyelesaian. Contoh yang sering diggunakan untuk pembelajaran adalah flowchart dalam mencari luas dan keliling segitiga.

 

4. Jelaskan pengertian flowchart !

Jawaban :

Flowchart adalah adalah suatu bagan dengan simbol-simbol tertentu yang menggambarkan urutan proses secara mendetail dan hubungan antara suatu proses (instruksi) dengan proses lainnya dalam suatu program. Dalam perancangan flowchart sebenarnya tidak ada rumus atau patokan yang bersifat mutlak (pasti). Hal ini didasari oleh flowchart (bagan alir) adalah sebuah gambaran dari hasil pemikiran dalam menganalisa suatu permasalahan dalam komputer. Karena setiap analisa akan menghasilkan hasil yang bervariasi antara satu dan lainnya. Kendati begitu secara garis besar setiap perancangan flowchart selalu terdiri dari tiga bagian, yaitu input, proses dan output.

proses input output

 

5. Buat 3 contoh penyelesaian dengan metode induksi matematika. Contoh sesuai dengan latihan - latihan di slide pertemuan 13 !

Jawaban  :

1. Buktikan bahwa :

Langkah 1 

1 = 1 ( terbukti )

Langkah 2 ( n = k )

Langkah 3 (n=k+1)

 

 

2. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 

Jawaban : 

(i) Basis induksi.

Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh: 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1.

Ini jelas benar, sebab 2⁰ = 1 = 2⁰⁺¹ – 1

= 2¹ – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa  p(n +1) juga benar, yaitu

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = 2^{(n+1) + 1} – 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2ⁿ⁺¹

= (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi)

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1

= (2 . 2ⁿ⁺¹) – 1

= 2ⁿ⁺² – 1

_{= 2}(n+1) + 1 _{– 1}

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk  semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … +¹³2ⁿ  = 2ⁿ⁺¹ – 1¾

 

3. Buktikan 1 + 2 + 3 + … + n = n/2 (n + 1) dengan menggunakan induksi matematika!

Jawaban :